In a certain sock drawer, there are 4 pairs black socks, 3 pairs of black socks, 3 pairs of gray of gray socks and 2 pairs of orange socks. If socks removed at random without replacing, what is the minimum number of socks that must be removed in order to ensure that two socks of the the same color have been removed?

এই সমস্যাটি 'পায়রাখাঁচা নীতি' (Pigeonhole Principle)-এর একটি ক্লাসিক উদাহরণ। যখন আপনাকে একটি নির্দিষ্ট ফলাফল নিশ্চিত করতে হবে, তখন আপনাকে সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি বিবেচনা করতে হবে।

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, মোজার ধরনগুলো প্রথমে স্পষ্ট করা যাক। এখানে কিছু মুদ্রণ ত্রুটি (typographical errors) থাকার সম্ভাবনা রয়েছে, যেমন "3 pairs of back socks" এবং "3 pairs of gray of gray socks"। সম্ভাব্য সবচেয়ে যৌক্তিক ব্যাখ্যা হলো:

    
• কালো মোজা (Black socks): 4 জোড়া। এর সাথে "3 pairs of back socks" কেও যদি কালো মোজা ধরা হয় (কারণ 'back' সম্ভবত 'black' এর একটি মুদ্রণ ত্রুটি), তাহলে মোট কালো মোজা হবে \(4+3 = 7\) জোড়া বা \(7 \times 2 = 14\)টি মোজা।
    
• ধূসর মোজা (Gray socks): "3 pairs of gray of gray socks" কে \(3\) জোড়া ধূসর মোজা হিসেবে ধরে নেওয়া হলো। অর্থাৎ \(3 \times 2 = 6\)টি মোজা।
    
• কোরিজ মোজা (Corage socks): 2 জোড়া বা \(2 \times 2 = 4\)টি মোজা। ('Corage' সম্ভবত 'orange' বা অন্য কোনো রঙের মুদ্রণ ত্রুটি, তবে এটিকে একটি স্বতন্ত্র রঙ হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।)

সুতরাং, আমরা এখানে ৩ ধরনের (distinct colors) মোজা পাচ্ছি: কালো, ধূসর এবং কোরিজ।

বিস্তারিত সমাধান:

পায়রাখাঁচা নীতি অনুযায়ী, যদি 'n' সংখ্যক খাঁচা থাকে, তাহলে 'n+1' সংখ্যক পায়রা রাখলে নিশ্চিতভাবে অন্তত একটি খাঁচায় একাধিক পায়রা থাকবে। এই সমস্যায়, 'খাঁচা' হলো মোজার রঙ এবং 'পায়রা' হলো মোজা।

    
1. প্রথমেই আমরা সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (worst-case scenario) বিবেচনা করব। অর্থাৎ, আমরা এমনভাবে মোজা তুলবো যেন কোনো জোড়া না হয়।
    
2. প্রথমে আমরা প্রতিটি ভিন্ন রঙ থেকে একটি করে মোজা তুলব। এখানে ৩টি ভিন্ন রঙ আছে (কালো, ধূসর, কোরিজ)।
    
3. অতএব, আমরা প্রথমে ১টি কালো মোজা, তারপর ১টি ধূসর মোজা এবং তারপর ১টি কোরিজ মোজা তুললাম।
    
4. এক্ষেত্রে, মোট মোজা তোলা হলো \(1 + 1 + 1 = 3\)টি। এই ৩টি মোজার কোনোটিই একই রঙের নয়।
    
5. এখন, চতুর্থ (4th) যে মোজাটি তোলা হবে, সেটি নিশ্চিতভাবে উপরে উল্লিখিত ৩টি রঙের যেকোনো একটির হবে।
    
6. যেহেতু মোজাটি উপরের ৩টি রঙের যেকোনো একটি হবে, তাই এটি নিশ্চিতভাবে আগের তোলা মোজাগুলোর মধ্যে থেকে কোনো একটির সাথে জোড়া তৈরি করবে।

সুতরাং, সর্বনিম্ন \(3 + 1 = 4\)টি মোজা তোলার পর নিশ্চিতভাবে দুটি মোজা একই রঙের হবে।

উত্তর: 4